【资料】李老师上小学三年级的数学课，上课开始就在屏幕上投影出：三角形面积=，平行四边形的面积=?。接着就复习计算三角形面积的公式，请一位学生起来回答什么是三角形面积的公式，学生回答：“三角形的面积等于底乘以高除以2。”李老师又问其他同学：“回答是否正确?”学生齐声回答：“对。”李老师再说：“请同学们一齐回答三角形的面积公式。”于是大家一齐说：“三角形面积等于底乘以高除以2”，然后李老师开始讲平行四边形的面积计算公式，很快就讲完了，学生也记住了平行四边形面积的计算公式。接下来李老师要学生做课堂练习，习题是二

加涅认为学习由低级到高级可分为：信号学习、连锁学习、刺激反应学习、言语联想学习、辨别学习、概念学习、规则学习或原理学习、高级规则学习或问题解决学习。低级别的学习是高级别学习的基础。题干中学生了解长方形面积公式、三角形面积公式及面积的相加性原理属于规则学习，学生运用这些规则生成了梯形面积的计算公式，这属于高级规则的学习。

【参考设计】
问题（一）：两种方法蕴含的是转化与化归思想。学生将三角形通过剪拼转化为平行四边形或长方形，再通过平行四边形或长方形的面积公式得到三角形的面积公式。
问题（二）：
1.知识与技能目标
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3.情感态度与价值观目标
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。
问题（三）：
一、动手操作，导入新知
1.师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形。请大家想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。（学生思考、讨论）
2.学生代表上台汇报操作结果。
3.师根据汇报有选择地在黑板上贴出四种折法。
4.让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么阁形？
生：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？
生：长方形的面积是30X 20 = 600(平方厘米），每个三角形的面积是600÷2 = 300(平方厘米）。
师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？
生：正方形的面积是30 X 30 = 900(平方厘米），每个三角形的面积是900 ÷ 2 = 450 (平方厘米）。
师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？
生：平行四边形的面积是40 X 20 = 800(平方厘米），每个三角形的面积是800÷ 2 = 400 (平方厘米）。
[设计理由]通过动手操作，既做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
5.师：看来今天我们班的同学很乐意表现自己，老师真为你们感到高兴。如果我们从桌子上任意取一个三角形，（师拿起任意一个三角形模型）这个三角形的面积怎样求呢？这就是我们今天要学习研究的内容。
[设计意图]从不会计算的面积图形中揭示课题，激发学生的探究兴趣。
二、探索三角形面积计算公式
1.玩游戏，小组内交流问题。
师：刚才同学们玩了一次折一折的游戏，想不想再继续玩？好，现在我们再来玩一个。拿出信封里面的学具，从中找出两个形状、大小完全一样的三角形拼一拼，看你发现了什么？同时要思考以下几个问题：（1)两个完全一样的三角形能拼出什么图形？（ 2)拼成图形的面积你会算吗？（ 3)拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
(学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
[设计理由]给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神，自主探索三角形的面积的公式。
2.学生代表上台演示汇报。
生：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积=底X高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以一个三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，你们明白了吗？请把掌声送给刚才这组。
师：刚才这个小组是用两个完全一样的锐角三角形来拼组的。你们还有其他新的发现吗？
(分别点用直角三角形、钝角三角形拼组的小组代表汇报，学生汇报每一种拼组后都贴 在黑板上。老师小结时，故意把其中的一个三角形拿掉，并用虚线表示）
[设计理由]让各组学生口头表达自己小组的推导过程，锻炼学生整理思维、理顺思路的能力和口头表达能力。
3.根据学生的汇报，老师小结。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半。是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才是。
师：看来，我们通过玩一玩、拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积=底X高÷ 2。
师：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？ “底X高”表示什么意思？为什么要“÷2”？
生：“底X高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2 ”。
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，s表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s = ah ÷2(教师板书）
4.介绍教材上的数学知识。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们更了不起！他们年纪很大了才发现的，而咱们年纪轻轻的也找到三角形面积的计算方法了。来，把热烈的掌声送给自己！
[设计理由]通过数学知识的介绍，渗透爱国主义思想教育，同时增强学生利用知识解决实际问题的信心。
三、学以致用，解决问题
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题。
(1)计算红领巾的面积。
(2)计算三角形标志牌的面积。
(3)画面积相等的三角形。
四、课堂小结
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？通过本节课 的学习，你有哪些收获和感受？
(学生汇报略）
(参考来源：http://www. pep. com cn/xxsx/jszx/tbjxzy/xs5ajxzy/wenzi/201201/120120106_ 1094762. htm，有改动）

程序性知识是关于“怎样做”的知识，是个体具有的用于具体情境的算法或一套行为步骤。

1、两种方法蕴含的是转化与化归思想。学生将三角形通过剪拼转化为平行四边形或长方形，再通过平行四边形或长方形的面积公式得到三角形的面积公式。

2、1．知识与技能目标
探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题。
2.过程与方法目标
使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。
3．情感态度与价值观目标
让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。


3.一、动手操作，导入新知
1．师：同学们，我们来玩一个游戏好吗？请大家拿出信封内的长方形、正方形和平行四边形。请大家想一想，如何在每个图形上折一次，使折痕两边的形状、大小完全一样，先思考或讨论有几种折法，再开始折，并用彩色笔画出折痕。（学生思考、讨论）
2．学生代表上台汇报操作结果。
3．师根据汇报有选择地在黑板上贴出四种折法。
4．让学生观察后提问。
师：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的什么图形？
生：这三个图形分别折成了两个形状、大小完全一样的三角形。
师：如果我们知道长方形长为30厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积是多少？你是怎样求出来的？
生：长方形的面积是30×20＝600（平方厘米），每个三角形的面积是600÷2＝300(平方厘米)。
师：如果我们知道正方形边长为30厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积又是多少呢？为什么？
生：正方形的面积是30×30＝900（平方厘米），每个三角形的面积是900÷2=450(平方厘米)。
师：如果我们知道平行四边形的底为40厘米，高为20厘米，它的面积是多少？每个三角形的面积呢？为什么？
生：平行四边形的面积是40×20＝800（平方厘米），每个三角形的面积是800÷2＝400（平方厘米）。
[设计理由]通过动手操作，既做到复习旧知，又让学生初步理解三角形的面积与平行四边形之间的联系，为新知的探索做好铺垫。
5．师：看来今天我们班的同学很乐意表现自己，老师真为你们感到高兴。如果我们从桌子上任意取一个三角形，（师拿起任意一个三角形模型）这个三角形的面积怎样求呢？这就是我们今天要学习研究的内容。
[设计意图]从不会计算的面积图形中揭示课题，激发学生的探究兴趣。
二、探索三角形面积计算公式
1．玩游戏，小组内交流问题。
师：刚才同学们玩了一次折一折的游戏，想不想再继续玩？好，现在我们再来玩一个。拿出信封里面的学具，从中找出两个形状、大小完全一样的三角形拼一拼，看你发现了什么？同时要思考以下几个问题：(1)两个完全一样的三角形能拼出什么图形？(2)拼成图形的面积你会算吗？(3)拼成的图形与原来每一个三角形有什么联系？
（学生在小组里动手拼一拼，并相互交流以上问题）
[设计理由]给学生留出足够的空间，发挥学生的主观能动性和合作精神，自主探索三角形的面积的公式。
2.学生代表上台演示汇报。
生：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积＝底X高，每一个锐角三角形的面积是这个平行四边形面积的一半，所以一个三角形的面积＝底×高÷2。
师：同学们，你们明白了吗？请把掌声送给刚才这组。
师：刚才这个小组是用两个完全一样的锐角三角形来拼组的。你们还有其他新的发现吗？
（分别点用直角三角形、钝角三角形拼组的小组代表汇报，学生汇报每一种拼组后都贴在黑板上。老师小结时，故意把其中的一个三角形拿掉，并用虚线表示）
[设计理由]让各组学生口头表达自己小组的推导过程，锻炼学生整理思维、理顺思路的能力和口头表达能力。
3.根据学生的汇报，老师小结。
师：看来不管是锐角三角形、直角三角形，还是钝角三角形，只要两个完全一样的三角形就能拼成一个平行四边形，大家都说其中一个三角形的面积是平行四边形面积的一半。是不是任意一个三角形面积是任意一个平行四边形面积的一半？
生：不是。三角形的底和高必须与平行四边形的底和高相等时才是。
师：看来，我们通过玩一玩、拼一拼，知道了怎样求一个三角形的面积了。那谁来说一说三角形的面积的计算公式是什么？
生：三角形的面积＝底×高÷2。
师：同学们，老师有点不明白，为什么写这个公式时用三角形的底乘高呢？“底×高”表示什么意思？为什么要“÷2”？
生：“底×高”表示用两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积；因为一个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，所以要“÷2”。
师：同学们，如果用a表示三角形的底，h表示三角形的高，表示三角形的面积，三角形面积的字母公式是什么？
生：s＝a×h÷2（教师板书）
4.介绍教材上的数学知识。
师：同学们，你们知道吗？今天我们一起动手推导出来的三角形的面积计算公式，很早以前，我们的祖先就已经发现了，请看屏幕。（多媒体出示）
师：同学们，我国古代数学家固然伟大。但是，老师觉得你们更了不起！他们年纪很大了才发现的，而咱们年纪轻轻的也找到三角形面积的计算方法了。来，把热烈的掌声送给自己！
[设计理由]通过数学知识的介绍，渗透爱国主义思想教育，同时增强学生利用知识解决实际问题的信心。
三、学以致用，解决问题
师：同学们，我们已经推导出了三角形面积计算公式，现在我们就用三角形的面积计算公式解决一些实际问题。
(1)计算红领巾的面积。
(2)计算三角形标志牌的面积。
(3)画面积相等的三角形。
四、课堂小结
师：本节课你学到了什么新知识？你觉得计算三角形面积时应注意什么？通过本节课的学习，你有哪些收获和感受？
（学生汇报略）

第一种是传授灌输式的教学方法，教师把学生置于知识的接受者的位置上．教师把知识传授作为自己的主要任务和目的，把主要精力放在检查学生对知识的掌握上，这样做，学生将整天处于被动应付，机械训练，死记硬背，简单重复的学习之中，学生学习的主动性、能动性、独立性被消蚀，思维和想象力被扼杀，学习的兴趣和热情被摧残，严重阻碍学生的发展，导致学生主体性缺失。 第二种是探究发现式的教学方法，教师把学生置于知识的发现者，探究者的位置上，教师将学习内容以问题形式间接呈现出来，引导学生主动、独立地探究学习。这样做，学生的主体性、能动性和独立性不断生成，使学习过程成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养了学生的批判意识和怀疑精神，鼓励学生对书本知识的质疑和对教师的超越，学生的创新精神和实践能力得到提升，促进了素质的提高。