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  • 第1题:

    设函数f(x)具有二阶导数,g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x,则在区间[0,1]上



    A.A当f'(x)≥0时,f(x)≥g(x)
    B.当f'(x)≥0时,f(x)≤g(x)
    C.当f"(x)≥0时,f(x)≥g(x)
    D.当f"(x)≥0时,f(x)≤g(x)

    答案:D
    解析:
    由于g(0)=f(0),g(1)=f(1),则直线y=f(0)(1-x)+f(1)x过点(0,f(0))和(1,f(1)),当f"(x)≥0时,曲线y=f(x)在区间[0,1]上是凹的,曲线y=f(x)应位于过两个端点(0,f(0))和(1,f(1))的弦y=f(0)(1-x)+f(1)x的下方,即f(x)≤g(x)故应选(D).
    (方法二)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,
    则 F'(x)=f'(x)+f(0)-f(1),F"(x)=f"(x).当f"(x)≥0时,F"(x)≥0,则曲线y=F(x)在区间[0,1]上是凹的.又F(0)=F(1)=0,从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).
    (方法三)令F(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x,

    则 F(x)=f(x)[(1-x)+x]-f(0)(1-x)-f(1)x

    =(1-x)[f(x)-f(0)]-x[f(1)-f(x)]
       =x(1-x)f'(ξ)-x(1-x)f'(η) (ξ∈(0,x),η∈(x,1))
       =x(1-x)[f'(ξ)-f'(η)]
      当f"(x)≥0时,f'(x)单调增,f'(ξ)≤f'(η),从而,当x∈[0,1]时F(x)≤0,即f(x)≤g(x),故应选(D).

  • 第2题:

    设g(x)在(-∞,+∞)严格单调递减,且f(x)在x=x0处有极大值,则必有( )。
    A. g[f(x)]在x= x0处有极大值 B.g[f(x)]在x=x0处有极小值C.g[f(x)]在x=x0处有最小值 D. g[f(x)]在x=x0处既无极值也无最小值


    答案:B
    解析:
    提示:由于f(x)在x= x0处有极大值,所以f(x)在x= x0左侧附近单调递增,右侧附近单调递减,g(f(x))在x= x0左侧附近单调递减,右侧附近单调递增。

  • 第3题:

    设f(x) g(x)是恒大于零的可导函数,且f’(x)g(x) - f(x) g’(x) < 0,则当a<x <b时,有

    A.f(x)g(b) > f(b)g(x)

    B.f(x)g(a) > f(a)g(x)

    C.f(x)g(x) > f(b)g(b)

    D.f(x)g(x) > f(a)g(a)


    故应选(A).

  • 第4题:

    已知函数f(x)=lg(x+1)。
    (1)若0(2)若g(x)9;g 2为周期的偶函数,且当0≤x≤1时,有g(x)=f(x),求函数y-=g(x)x∈[1,2])的反函数。


    答案:
    解析:

    (2)

  • 第5题:

    设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数,且f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当a<x<b时有( )《》( )

    A.f(x)g(b)>f(b)g(x)
    B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
    C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
    D.f(x)g(x)>f(a)g(a)

    答案:A
    解析: