参考答案和解析
答案:
解析:
更多“设n阶实对称矩阵A的秩为r,且满足,求 ①二次型的标准形; ②行列式的值,其中E为单位矩阵”相关问题
  • 第1题:

    设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,且AB=E,其中E为m阶单位矩阵,则( )


    A.r(A)=r(B)=m
    B.r(A)=m r(B)=n
    C.r(A)=n r(B)=m
    D.r(A)=r(B)=n

    答案:A
    解析:

  • 第2题:

    已知矩阵.,且矩阵X满足AXA+BXB=AXB+BXA+E,其中E是三阶单位矩阵,求X.


    答案:
    解析:
    【解】化简矩阵方程,有AX(A-B)+BX(B-A)=E,即(A-B)X(A-B)=E.
    由于,所以矩阵A-B可逆,且于是.

  • 第3题:

    设A是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A^2-3A=O,设(1,1,-1)t为A的非零特征值对应的特征向量.(1)求A的特征值;(2)求矩阵A.


    答案:
    解析:

  • 第4题:

    设A是3阶实对称矩阵,满足,并且r(A)=2. (1) 求A的特征值. (2)当实数k满足什么条件时A+kE正定?


    答案:
    解析:

  • 第5题:

    设A=,E为三阶单位矩阵.
      (Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系;
      (Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B.


    答案:
    解析:
    【分析】(Ⅰ)是基础题,化为行最简即可.
    关于(Ⅱ)中矩阵B,其实就是三个方程组的求解问题.
    【解】(Ⅰ)对矩阵A作初等行变换,得

  • 第6题:

    设α为三维单位列向量,E为三阶单位矩阵,则矩阵E-αα^T的秩为________.


    答案:
    解析:

  • 第7题:

    已知二次型f(x1,x2,3x)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为,且Q的第3列为.
      (Ⅰ)求矩阵A;
      (Ⅱ)证明A+E为正定矩阵,其中E为三阶单位矩阵.


    答案:
    解析:

  • 第8题:

    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则( ).《》( )

    A.r(A)=m,r(B)=m
    B.r(A)=m,r(B)=n
    C.r(A)=n,r(B)=m
    D.r(A)=n,r(B)=n

    答案:A
    解析:
    设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,因此r(A)≤m,r(B)≤m.由AB=E有r(AB)=r(E)=m,由r(AB)≤min{r(A),r(B)},知r(A)≥m,r(B)≥m,因此r(A)=m,r(B)=m.

  • 第9题:

    单选题
    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则(  )。
    A

    r(A)=m,r(B)=m

    B

    r(A)=m,r(B)=n

    C

    r(A)=n,r(B)=m

    D

    r(A)=n,r(B)=n


    正确答案: C
    解析:
    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,因此r(A)≤m,r(B)≤m。
    由AB=E有r(AB)=r(E)=m,由r(AB)≤min{r(A),r(B)},知r(A)≥m,r(B)≥m,因此r(A)=m,r(B)=m。

  • 第10题:

    问答题
    设A为4阶魔术矩阵,分别对A进行如下操作: 求矩阵A的逆; 求矩阵A的行列式; 求矩阵A的秩; 求矩阵A的迹;

    正确答案: >>A=magic(4)
    >>B=inv(A)
    >>C=det(A)
    >>D=rank(A)
    >>E=trace(A)
    解析: 暂无解析

  • 第11题:

    问答题
    设A=[aij]3×3是三阶非零矩阵,而且满足aij=-Aij(i,j=1,2,3),其中Aij为行列式|A|中aij的代数余子式,求行列式|A|的值。

    正确答案:
    由题中条件可知A*=-AT,则,A*,=,-AT,。由,A*,=,A,3-1=,A,2,,-AT,=(-1)3,A,,则,A,2=(-1)3,A,=-,A,,故,A,=0或,A,=-1。
    因为矩阵A为非零矩阵,可设a11≠0,A的行列式为,A,=a11A11+a12A12+a13A13=-a112-a122-a132≠0,所以,A,=-1。
    解析: 暂无解析

  • 第12题:

    单选题
    下列结论中正确的是(    )
    A

    矩阵A的行秩与列秩可以不等

    B

    秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零

    C

    若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零

    D

    秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式


    正确答案: D
    解析:

  • 第13题:

    下列结论中正确的是(  )。

    A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
    B、 秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零
    C、 若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零
    D、 秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式

    答案:C
    解析:
    A项,矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项,由矩阵秩的定义可知,若矩阵A(m×n)中至少有一个r阶子式不等于零,且r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。即秩为r的矩阵中,至少有一个r阶子式不等于零,不必满足所有r阶子式均不为零。C项,矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩,n阶矩阵的秩为n时,所对应的行列式的值大于零;当n阶矩阵的秩<n时,所对应的行列式的值等于零。D项,秩为r的矩阵中,有可能存在等于零的r-1阶子式,如秩为2的矩阵



    中存在等于0的1阶子式。

  • 第14题:

    设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,B^T为B的转置矩阵,试证:B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n,


    答案:
    解析:

  • 第15题:

    ,E为3阶单位矩阵(1)求方程组的一个基础解系; (2)求满足的所有矩阵B


    答案:
    解析:

  • 第16题:

    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则



    A.A秩r(A)=m,秩r(B)=m
    B.秩r(A)=m,秩r(B)=n
    C.秩r(A)=n,秩r(B)=m
    D.秩r(A)=n,秩r(B)=n

    答案:A
    解析:
    本题考的是矩阵秩的概念和公式.因为AB=E是m阶单位矩阵,知r(AB)=m.又因r(AB)≤min(r(A),r(B)),故m≤r(A),m≤r(B). ①另一方面,A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,又有r(A)≤m,r(B)≤m. ②比较①、②得r(A)=m,r(B)=m.所以选(A)

  • 第17题:

    设A为四阶实对称矩阵,且A^2+A=O.若A的秩为3,则A相似于


    答案:D
    解析:
    这是一道常见的基础题,由Aα=λα,α≠0知A^nα=λ^nα,那么对于A^2+A=0(λ^2+λ)α=0λ^2+λ=0所以A的特征值只能是0或-1再由A是实对称必有A~A,而A即是A的特征值,那么由r(A)=3,可知(D)正确

  • 第18题:

    设A为三阶实对称矩阵,A的秩为2,且

      (Ⅰ)求A的所有特征值与特征向量;
      (Ⅱ)求矩阵A.


    答案:
    解析:

  • 第19题:

    设A为3阶实对称矩阵,A的秩为2,且. (Ⅰ)求A的特征值与特征向量; (Ⅱ)求矩阵A


    答案:
    解析:

  • 第20题:

    设A为4阶魔术矩阵,分别对A进行如下操作: 求矩阵A的逆; 求矩阵A的行列式; 求矩阵A的秩; 求矩阵A的迹;


    正确答案: >>A=magic(4)
    >>B=inv(A)
    >>C=det(A)
    >>D=rank(A)
    >>E=trace(A)

  • 第21题:

    问答题
    设A是n阶矩阵,且满足Am=E,其中m为整数,E为n阶单位矩阵。令将A中的元素aij换成它的代数余子式Aij而成的矩阵为A(~),证明:(A(~))m=E。

    正确答案:
    因为Am=E,所以,Am,=,A,m=1,,A,=1≠0,即矩阵A可逆。
    由题知A(~)=(A*)T,其中A*为A的伴随矩阵。所以有(A(~))m=[(A*)T]m=[(,A,A-1)T]m=[(A-1)T]m=[(Am)-1]T=E。
    解析: 暂无解析

  • 第22题:

    填空题
    设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,且A2=A,则(A-2E)-1=____。

    正确答案: -(A+E)/2
    解析:
    由题设A2=A有,A2-A-2E=(A-2E)(A+E)=-2E,即(A-2E)[-(A+E)/2]=E,所以有(A-2E)1=-(A+E)/2。

  • 第23题:

    单选题
    设A是m×n矩阵,C是n阶可逆矩阵,矩阵A的秩为r,矩阵B=AC的秩为r1,则(  )。
    A

    r>r1

    B

    r<rl

    C

    r=rl

    D

    r与r1的关系依C而定


    正确答案: A
    解析:
    由r1=r(B)≤min[r(A),r(C)]=r(A)=r。
    且A=BC1,故r=r(BC1)≤min[r(B),r(C1)]=r(B)=r1,所以有r=r1