设A,B为n阶矩阵,考虑以下命题:①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价②若行列式.,则A,B为等价矩阵③若与都只有零解,则A,B为等价矩阵④若A,B为相似矩阵,则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是( ). A.①③ B.②④ C.②③ D.③④

题目
设A,B为n阶矩阵,考虑以下命题:①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价②若行列式.,则A,B为等价矩阵③若都只有零解,则A,B为等价矩阵④若A,B为相似矩阵,则的解空间的维数相同以上命题中正确的是( ).

A.①③
B.②④
C.②③
D.③④

相似考题
更多“设A,B为n阶矩阵,考虑以下命题:①若A,B为等价矩阵,则A,B的行向量组等价②若行列式.,则A,B为等价矩阵③若与都只有零解,则A,B为等价矩阵④若A,B为相似矩阵,则与的解空间的维数相同以上命题中正确的是( ). ”相关问题
  • 第1题:

    设A是m×n阶矩阵,则下列命题正确的是().

    A.若mB.若m>n,则方程组AX=b一定有唯一解
    C.若r(A)=n,则方程组AX=b一定有唯一解
    D.若r(A)=m,则方程组AX=b一定有解

    答案:D
    解析:
    因为若r(A)=m(即A为行满秩矩阵),则r()=m,于是r(A)=r(),即方程组AX=b一定有解,选(D).

  • 第2题:

    设A是m×n阶矩阵,下列命题正确的是().

    A.若方程组AX=0只有零解,则方程组AX=b有唯一解
    B.若方程组AX=0有非零解,则方程组AX=b有无穷多个解
    C.若方程组AX=b无解,则方程组AX=0一定有非零解
    D.若方程组AX=b有无穷多个解,则方程组AX=0一定有非零解

    答案:D
    解析:

  • 第3题:

    设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均m×n矩阵,现有4个命题:
      ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B);
      ②若秩(A)≥秩(B),则Ax=0的解均是Bx=0的解;
      ③若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B);

      ④若秩(A)=秩(B)则Ax=0与Bx=0同解;

      以上命题中正确的是

    A.①②.
    B.①③.
    C.②④.
    D.③④,

    答案:B
    解析:
    显然命题④错误,因此排除(C)、(D).对于(A)与(B)其中必有一个正确,因此命题①必正确,那么②与③哪一个命题正确呢?由命题①,“若Ax=0的解均是Bx=0的解,则秩(A)≥秩(B)”正确,知“若Bx=0的解均是Ax=0的解,则秩(B)≥秩(A)”正确,可见“若Ax=0与Bx=0同解,则秩(A)=秩(B)”正确.即命题③正确,故应选(B).

  • 第4题:

    设a为N阶可逆矩阵,则( ).

    A.若AB=CB,则a=C
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E
    D.以上都不对


    答案:C
    解析:

  • 第5题:

    设n阶矩阵A与B等价, 则必须


    答案:D
    解析:

  • 第6题:

    设矩阵等价,则a=


    答案:
    解析:

  • 第7题:

    设A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则



    A.A矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
    B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
    C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
    D.矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价

    答案:B
    解析:
    对矩阵A,C分别按列分块,记A=(α1,α2,…,αn),C=(γ,γ,…,γ).  由AB=C有

      可见

    即C的列向量组可以由A的列向量组线性表出.
      因为B可逆,有CB^-1=A.类似地,A的列向量组也可由C的列向量组线性表出,因此选(B).

  • 第8题:

    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则rA≥rB; ②若rA≥rB,则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则rA=rB; ④若rA=rB,则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是()。

    • A、①②
    • B、①③
    • C、②④
    • D、③④

    正确答案:B

  • 第9题:

    单选题
    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,E为m阶单位矩阵,若AB=E,则(  )。
    A

    r(A)=m,r(B)=m

    B

    r(A)=m,r(B)=n

    C

    r(A)=n,r(B)=m

    D

    r(A)=n,r(B)=n


    正确答案: C
    解析:
    设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,因此r(A)≤m,r(B)≤m。
    由AB=E有r(AB)=r(E)=m,由r(AB)≤min{r(A),r(B)},知r(A)≥m,r(B)≥m,因此r(A)=m,r(B)=m。

  • 第10题:

    单选题
    设有齐次线性方程组Ax=0及Bx=0,其中A、B均为m×n矩阵,现有以下4个命题 ①若Ax=0的解均是Bx=0的解,则rA≥rB; ②若rA≥rB,则Ax=0的解均是Bx=0的解; ③若Ax=0与Bx=0同解,则rA=rB; ④若rA=rB,则Ax=0与Bx=0同解。 以上命题中正确的是()。
    A

    ①②

    B

    ①③

    C

    ②④

    D

    ③④


    正确答案: B
    解析: 因为①中条件保证了n-r(A)≤n-r(B),所以r(A)≥r(B),而进一步易知③正确,而②、④均不能成立。

  • 第11题:

    单选题
    下列结论中正确的是(    )
    A

    矩阵A的行秩与列秩可以不等

    B

    秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零

    C

    若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零

    D

    秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式


    正确答案: D
    解析:

  • 第12题:

    设a为N阶可逆矩阵,则( ).

    A.若AB=CB,则a=C:
    B.
    C.A总可以经过初等变换化为单位矩阵E:
    D.以上都不对.


    答案:C
    解析:

  • 第13题:

    设A,B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+AB,C=A+CA,则B-C=



    A.E
    B.-E
    C.A
    D.-A

    答案:A
    解析:

  • 第14题:

    设矩阵A,B,C均为n阶矩阵,若AB=C,且B可逆,则( )


    A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价
    B.矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价
    C.矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价
    D.矩阵C的行向量组与矩阵B的列向量组等价


    答案:B
    解析:

  • 第15题:

    设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().

    A.A=O
    B.A=E
    C.若A不可逆,则A=O
    D.若A可逆,则A=E

    答案:D
    解析:
    因为A^2=A,所以A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得,r(A)+r(E—A)=n,若A可逆,则r(A)=n,所以r(E-A)=0,A=E,选(D).

  • 第16题:

    下列结论中正确的是(  )。

    A、 矩阵A的行秩与列秩可以不等
    B、 秩为r的矩阵中,所有r阶子式均不为零
    C、 若n阶方阵A的秩小于n,则该矩阵A的行列式必等于零
    D、 秩为r的矩阵中,不存在等于零的r-1阶子式

    答案:C
    解析:
    A项,矩阵A的行秩与列秩一定相等。B项,由矩阵秩的定义可知,若矩阵A(m×n)中至少有一个r阶子式不等于零,且r<min(m,n)时,A中所有的r+1阶子式全为零,则A的秩为r。即秩为r的矩阵中,至少有一个r阶子式不等于零,不必满足所有r阶子式均不为零。C项,矩阵A的行列式不等于零意味着矩阵A不满秩,n阶矩阵的秩为n时,所对应的行列式的值大于零;当n阶矩阵的秩<n时,所对应的行列式的值等于零。D项,秩为r的矩阵中,有可能存在等于零的r-1阶子式,如秩为2的矩阵



    中存在等于0的1阶子式。

  • 第17题:

    设B≠O为三阶矩阵,且矩阵B的每个列向量为方程组的解,则k=_______,|B|=_______.


    答案:1、0
    解析:
    ,因为B的列向量为方程组的解且B≠0,所以AB=0且方程组有非零解,故|A|=0,解得k=1.因为AB=O,所以r(A)+r(B)≤3且r(A)≥1,于是r(B)≤2小于3,故|B|=0.

  • 第18题:

    设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B()。

    • A、等价
    • B、相似
    • C、合同
    • D、正交

    正确答案:B

  • 第19题:

    若一个n阶矩阵A中的元素满足:Aij=Aji(0<=I,j<=n-1)则称A为()矩阵;若主对角线上方(或下方)的所有元素均为零时,称该矩阵为()。


    正确答案:上;三角矩阵

  • 第20题:

    单选题
    设A,B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P使得P-1AP=B,则称矩阵A与矩阵B()。
    A

    等价

    B

    相似

    C

    合同

    D

    正交


    正确答案: B
    解析: 由相似矩阵的定义知B正确。故选B。

  • 第21题:

    单选题
    若A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,则(  )。
    A

    当m>n时,ABX()0()必有非零解

    B

    当m>n时,AB必可逆

    C

    当n>m时,ABX()0()只有零解

    D

    当n>m时,必有r(AB)<m


    正确答案: A
    解析:
    r(AB)≤r(A)≤n<m,AB是m阶方阵,由于系数矩阵的秩小于未知数的个数,故ABX()0()有非零解。