设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f′(x)=0在(0，3)内的根的个数为(56)。A．1B．2C．3D．4

I n =∫x n e x dx=∫x n de x =x n e x -∫e n dx n =x n e x -n∫x n-1 e x dx=x n e x -nI n-1 ∴I n =x n e x -nI n-1 (n≥2) I 1 =∫xe x dx=(x-1)e x +C I 2 =x 2 e x -2I 1 =(x 2 -2x+2)e x +C．

（1）由题意可得， f 1 (x)=(x+1)? e x ， f 2 (x)=(x+2)? e x ， f 3 (x)=(x+3)? e x ，…， 猜测出f n （x）的表达式 f n (x)=(x+n)? e x (n∈N*) ． （2）由（1）可知， f n (x)=(x+n)? e x (n∈N*) ， ∴ f ′ n (x)=(x+n+1)? e x ， 令f′ n （x）=0，解得x=-（n+1）， ∵当x＞-（n+1）时，f' n （x）＞0，当x＜-（n+1）时，f' n （x）＜0， ∴当x=-（n+1）时，f n （x）取得极小值 f n (-(n+1))=- e -(n+1) ， 即f n （x）的极小值为 y n =- e -(n+1) (n∈N*) ． （3）∵ g n (x)=- x 2 -2(n+1)x-8n+8 ， ∴当x=-（n+1）时，g n （x）取最大值，即 a= g n (-(n+1))=(n-3 ) 2 ， 又∵ b= f n (-(n+1))=- e -(n+1) ， ∴a-b=（n-3） 2 +e -（n+1） ， 问题转化为求 c n =(n-3 ) 2 + e -(n+1) 的最小值． 解法1（构造函数）： 令h（x）=（x-3） 2 +e -（x+1） （x≥0）， 则h'（x）=2（x-3）-e -（x+1） ，又h（x）在区间[0，+∞）上单调递增， ∴h'（x）≥h'（0）=-6-e -1 ， 又∵h'（3）=-e -4 ＜0，h'（4）=2-e -5 ＞0， ∴存在x 0 ∈（3，4）使得h'（x 0 ）=0， 又h'（x）在区间[0，+∞）上单调递增， ∴0≤x＜x 0 时，h'（x 0 ）＜0，当x＞x 0 时，h'（x 0 ）＞0， 即h（x）在区间[x 0 ，+∞）上单调递增，在区间[0，x 0 ）上单调递减， ∴（h（x）） min =h（x 0 ）． 又∵h（3）=e -4 ，h（4）=1+e -5 ，则h（4）＞h（3）， ∴当n=3时，a-b取得最小值e -4′ ． 解法2（利用数列的单调性）： ∵ c n+1 - c n =2n-5+ 1 e n+2 - 1 e n+1 ， ∴当n≥3时，2n-5≥1， 1 e n+2 ＞0 ， 1 e n+1 ＜1 ， ∴ 2n-5+ 1 e n+2 - 1 e n+1 ＞0 ， ∴c n+1 ＞c n ． ∵ c 1 =4+ 1 e 2 ， c 2 =1+ 1 e 3 ， c 3 = 1 e 4 ，c 1 ＞c 2 ＞c 3 ， ∴当n=3时，a-b取得最小值e -4 ．

故